The min-max edge q-coloring problem

In this paper we introduce and study a new problem named \emph{min-max edge $q$-coloring} which is motivated by applications in wireless mesh networks. The input of the problem consists of an undirected graph and an integer $q$. The goal is to color the edges of the graph with as many colors as possible such that: (a) any vertex is incident to at most $q$ different colors, and (b) the maximum size of a color group (i.e. set of edges identically colored) is minimized. We show the following results: 1. Min-max edge $q$-coloring is NP-hard, for any $q \ge 2$. 2. A polynomial time exact algorithm for min-max edge $q$-coloring on trees. 3. Exact formulas of the optimal solution for cliques and almost tight bounds for bicliques and hypergraphs. 4. A non-trivial lower bound of the optimal solution with respect to the average degree of the graph. 5. An approximation algorithm for planar graphs.Comment: 16 pages, 5 figure

Improving Bandwidth in Wireless Mesh Networks

Langattomia mesh-verkkoja pidetään lupaavana ja kustannustehokkaana vaihtoehtona kalliille langallisille runkoverkoille. Muun muassa toimiston, asuinalueen tai jopa taajaman runkoverkon voisi toteuttaa langattoman mesh-verkon avulla. Mesh-verkoissa on kuitenkin paljon kehitettävää eri osa-alueilla, kuten kaistanleveyden hyödyntämisessä. Luonnollinen ratkaisu tähän on käyttää verkossa useampaa taajuuskanavaa. Eräissä ehdotetuissa arkkitehtuureissa monikanavaisuus toteutetaan asentamalla verkkolaitteisiin useampi verkkokortti, mikä mahdollistaa pysyvämmän verkkokorttikohtaisen kanavajaon verrattuna pakettikohtaiseen taajuuskanavan säätämiseen. Tämä lähestymistapa asettaa toisaalta seuraavan rajoitteen: yksittäinen verkkolaite ei voi käyttää samanaikaisesti useampaa kanavaa, kuin sillä on verkkokortteja. Tässä diplomityössä tarkastellaan kyseistä kanavajako-ongelmaa graafieoreettiselta ja algoritmiselta kannalta. Mesh-verkkoa ja sen kanavajakoa voidaan mallintaa graafin kaarivärityksenä, jossa solmut, kaaret ja värit vastaavat verkkolaitteita, linkkejä ja taajuuskanavia. Työn keskiössä on kaariväritysongelma, jota kutsumme nimellä min-max q-kaariväritys. Ongelman tavoitteena on minimoida suurimman sellaisen kaarijoukon koko, jossa jokaisella kaarella on sama väri, siten että kustakin solmusta lähtee enintään q eri väristä kaarta. Tärkeimmät tuloksemme ovat seuraavat: todistamme, että min-max q-kaariväritys on NP-kova, näytämme kaksi alarajaa ongelman optimille sekä ylärajan approksimaatiokertoi,esittelemme approksimaatioalgoritmin tasograafeille sekä tarkan algoritmin puugraafeille ja laskemme lähes tarkat optimiarvot kolmelle graafityypille